Grundlegende Mathematik Beispiele

$(x - 3) (x - 4) (x - 7) \leq 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 4) (x - 7) \leq 0$ wahr machen.

$x = 3, 4, 7$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) - 3) ((0) - 4) ((0) - 7) \leq 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 84$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((3.5) - 3) ((3.5) - 4) ((3.5) - 7) \leq 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $0.875$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) - 3) ((6) - 4) ((6) - 7) \leq 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 6$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((10) - 3) ((10) - 4) ((10) - 7) \leq 0$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $126$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 3$ oder $4 \leq x \leq 7$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq 3 or 4 \leq x \leq 7$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3] \cup [4, 7]$

Schritt 10